Parmi les fonctions rapidement croissantes, il y a la fonction factorielle.
C’est une fonction qui ne concerne que les nombres entiers ; elle est définie par le produit de tous les nombres entiers jusqu’au nombre considéré n .
On l’écrit n ! que l’on énonce : factorielle n .
Donc n ! = 1 * 2 * 3 * …………. * (n – 1) * n
Les factorielles interviennent dans de nombreux calculs. Par exemple, le nombre de permutations de n objets est égal à n ! .
Soient dix amis réunis
pour partager, disons, une galette des Rois. Ils ne savent pas
comment se placer autour de la table.
( Dessin d'Isabelle, 42 ko)
S’ils veulent essayer toutes les dispositions possibles, même en se dépêchant beaucoup, ils n’auront pas fini leur essai, tant s’en faut, pour la galette de l’année suivante !
En effet, 10 ! = 3 628 800
En supposant que l’essai d’une combinaison prenne 10 secondes, il faudrait plus d’une année (31 557 600 secondes) sans interruption pour les essayer toutes.
Mieux vaut y renoncer et se placer selon les affinités électives, voire au hasard.
Ci-dessous un tableau regroupant quelques fonctions de n pour n de 1 à 12 .
| n | n^2 | n^3 | 2^n | 10^n | n! |
| 1 | 1 | 1 | 2 | 10 | 1 |
| 2 | 4 | 8 | 4 | 100 | 2 |
| 3 | 9 | 27 | 8 | 1000 | 6 |
| 4 | 16 | 64 | 16 | 10 000 | 24 |
| 5 | 25 | 125 | 32 | 100 000 | 120 |
| 6 | 36 | 216 | 64 | 1 million | 720 |
| 7 | 49 | 343 | 128 | 10 millions | 5040 |
| 8 | 64 | 512 | 256 | 100 millions | 40 320 |
| 9 | 81 | 729 | 512 | 1 milliard | 362 880 |
| 10 | 100 | 1000 | 1024 | 10 milliards | 3 628 800 |
| 11 | 121 | 1331 | 2048 | 100 milliards | 39 916 800 |
| 12 | 144 | 1728 | 4096 | 1000 milliards | 479 001 600 |
On voit que la factorielle de n dépasse le carré de n à partir de n = 4, dépasse le cube à partir de n = 6, dépasse 2 puissance n à partir de n = 4 .
Sur notre petit tableau limité à 12, elle reste inférieure à 10 puissance n, mais sa croissance est quand même plus rapide et à partir de n = 25, factorielle n est supérieure à 10 puissance n . L’écart s’accentue ensuite très vite. Par exemple, en ne gardant que le premier chiffre : 50 ! = 3 * 10^64 , 100 ! = 9 * 10^157
Ce nombre immense n’a plus de signification physique.