Solution

En me rappelant opportunément la formule donnant la somme des n premiers nombres entiers : n (n+1) / 2, Alain Pujol m’a fourni l’outil nécessaire.

Comme la n-ième rangée comprend n termes, le rang p du dernier terme de cette rangée est donc p = n (n+1) / 2.

Calculons le rang du dernier terme de la rangée précédente :

p’ = (n-1) n / 2

Donc ce terme t = 2 p’ – 1 = n (n-1) –1

Le premier terme u de la rangée n, celle qui nous intéresse, est égal au dernier terme de la rangée précédente augmenté de 2, donc u = t + 2 = n (n-1) + 1

La somme des termes de la rangée n est égale à :

S = n u + 2 fois la somme des nombres entiers de 1 à n-1

Reportons la valeur de u calculée plus haut : n u = n ^2 (n-1) + n

S = n^2 (n-1) + n +n (n-1)

En développant : S = n^3 – n^2 + n + n^2 – n

Les termes en n et en n puissance 2 s’annulent et il reste :

 

S = n puissance 3

La somme des termes de la ligne N° n de l’arbre d’impairs est égale au cube de n.

Dans le cas proposé, n = 20, S = 8000

 

En posant ce problème, Michel Blais comptait certainement plus sur l’esprit d’observation que sur un calcul rigoureux ; en effet les sommes des premières lignes sont 1, 8, 27, 64, 125, 216, qui sont les cubes des premiers nombres entiers.

La croissance est assez rapide (fonction cubique) ; mais beaucoup moins que celle d’une fonction exponentielle : il faut atteindre la millième ligne pour que S égale un milliard, alors que ce nombre est déjà dépassé par les grains de blé sur la trente et unième case de l’échiquier.

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